Curvas Elípticas: Base criptográfica de las monedas electrónicas

En álgebra abstracta se clasifican las estructuras de acuerdo con las propiedades que cumplen las operaciones sobre un conjunto de datos definidos; también por las leyes de composición interna que las regulan. Una de las estructuras algebraicas más comunes en todas las matemáticas son las conocidas como grupo; aquellas donde se puede definir una operación binaria sobre un conjunto no vacío (normalmente una operación de “suma”), así de simple. Los grupos son la base para el estudio de estructuras más complicadas como los cuerpos y los anillos.

Un cuerpo —o campo— se refiere al conjunto de elementos donde es posible utilizar dos operaciones básicas (‘adición y multiplicación’); donde estas «funcionan» correctamente. Como ejemplo de cuerpo tenemos al conjunto de los números reales (que incluye a los racionales e irracionales). Es decir, cualquier número sobre la llamada recta real asociada a \(\mathbb{R}\) (un buen ejemplo de cuerpo o campo); un cuerpo de esa naturaleza por definición posee infinitos elementos. También podemos definir cuerpos finitos como subconjunto de \(\mathbb{R}\text{,}\) en forma de otros objetos matemáticos como los elementos que cumplen con las ecuaciones y sus expresiones geométricas; algunas de ellas conocidas desde la antigüedad.

Todos los cuerpos finitos tienen un número de elementos \(q = p^n\text{,}\) para algún número primo \(p\) y algún entero positivo \(n\text{.}\) Para cada cardinalidad \(q\) así definida hay una y solo una manera posible de definir un campo finito, por lo que todos los campos finitos del mismo orden son isomorfos entre sí [Subsección 2.3.8].

El estudio moderno de los métodos para la resolución de ecuaciones se remonta a los antiguos griegos; considerando los avances alcanzados por culturas anteriores, como avances pretéritos o primarios (babilonios, hindúes, chinos, egipcios, etc.). Los griegos resolvieron cierto tipo de ecuaciones cuadráticas, pero fue entre los siglos XIII y el Renacimiento italiano (siglo XV) cuando se avanza al respecto de las ecuaciones con una variable; lo que solo se completa a principios del siglo XIX. Para la geometría cartesiana, ejemplos de curvas «planas» con una variable, son: la parábola representada por una curva arqueada en el plano (\(y=x^2\)), o el límite de un círculo con el parámetro radio de longitud uno —la circunferencia unitaria— definida por la ecuación \(x^n+y^n=1\text{;}\) para \(n=2\text{.}\) Preste alguna atención a este último tipo de ecuación cuando \(n\) es mayor que \(2\text{;}\) por culpa de Fermat carcomió el cerebro humano por 350 años¹.

Cuando los parámetros y las variables de las ecuaciones son elementos de un cuerpo finito, una ecuación algebraica define una curva dentro del cuerpo finito, en consecuencia, se tratan de curvas algebraicas, ya que las ecuaciones vienen siempre expresadas por polinomios. En un cuerpo finito todas las funciones son polinómicas, por ello el número de puntos de las curvas consideradas se corresponde al número de soluciones del correspondiente sistema de ecuaciones.

Las ecuaciones que nos interesan son ecuaciones con dos variables, del tipo \(ax+by=c\text{.}\) Este tipo de ecuaciones fueron conocidas por los griegos y sus anteriores, pero los griegos solo resolvieron con sus métodos aquellas ecuaciones donde el máximo exponente era dos; con \(a,b,c,x,y\) en números enteros. Probablemente no sabían que cada ecuación de este tipo se podía resolver “completamente” al caracterizar todas las soluciones en un número finito de pasos; aunque tuvieron éxito con casos especiales² como: \(x^2-3y^2=1\text{.}\) Ecuaciones con un mayor exponente no les fue posible tratar a los griegos con sus métodos³; la historia moderna de este tipo de ecuaciones comienza con Pierre de Fermat —quién no publicó nada, solo una fluida comunicación epistolar con desafíos matemáticos para sus amigos—. Él presentó ecuaciones en dos variables con soluciones únicas en números enteros. Ejemplo de ellas: \(y^2=x^3-2\) ; \(y= \pm 5,x=3\) o \(y^2=x^3-4\) con soluciones enteras: \(y= \pm 2,x=2;y= \pm 11,x=5\text{.}\) Resolver ese tipo de ecuaciones en números enteros sólo ha sido posible en la segunda mitad del siglo XX, pero resolverlas en números racionales … aún no se ha logrado.

Hay que tener presente que el término «curva» puede ser exagerado si pensamos en la continuidad acostumbrada; el número de puntos \((x,y)\) que verifican la ecuación respectiva, los hemos especificado como finito. Pero es plausible una “discretización” del posible rango de soluciones que no debe entenderse como “saltos” o discontinuidades.

La discretización no debe extrañarnos, por ejemplo: con los conjuntos de números componentes de la recta real (naturales, enteros y racionales) podría pensarse en una plenitud, pero todavía quedan «huecos» que no se satisfacen con los cuerpos numéricos señalados: dicho estado de plenitud, aún no considera especímenes extraños como \(\sqrt{2}\) o \(\pi\text{.}\) El cuerpo racional \(\mathbb{Q}\) es “incompleto” respecto a la recta real, no hay suficientes números racionales para representar todos los puntos de la recta real. Fue necesario expandir el universo racional \(\mathbb{Q}\) mediante la añadidura de los números irracionales (aquellos cuya expresión decimal es aperiódica e infinita; y no pueden ser expresados como una fracción; ejemplos de ellos son: \(\sqrt{7}, e, \sqrt{2},\pi\)… y otras alimañas parecidas). El cuerpo de los números reales de esa manera queda definido completo; en relación con la recta real.

Estamos listos para considerar un objeto bidimensional: como el plano real \(\mathbb{R}^2\) —es acertado el entendimiento de que el «plano real» implica un conjunto infinito de pares ordenados—. Tenga presente que nada hemos dicho del cuerpo complejo denominado \(\mathbb{C}\text{,}\) que agrupa todas las estructuras, cuerpos y conjuntos numéricos mencionados; su análisis estructural no difiere sustancialmente de lo dicho hasta ahora. Normalmente los parámetros \(k\) que caracterizan una ecuación en dos variables \(x\) e \(y\text{,}\) pueden tener a priori (en \(\mathbb{R}^2\)) cualquier valor real. Pero, para el caso de una curva (cualquiera) en cualquier cuerpo finito \(p\text{,}\) los parámetros y variables deben ser seleccionados únicamente a partir de los elementos pertenecientes a dicho cuerpo finito (donde sólo pueden existir valores tomados del cuerpo numérico de orden indicado por el primo \(p\text{;}\) ver Subsección 2.3.8).

En álgebra abstracta es posible considerar al conjunto \(k\) compuesto de elementos no numéricos (como las diversas disposiciones de las teselas del cubo de Rubik; Nota 2.1.3); pero incluso para el caso cuando \(k\) sea un anillo arbitrario⁴ a sus elementos le llaman: números. En la definición de los elementos que conforman dichos conjuntos numéricos participa de una u otra manera un conjunto \(k\) de números con que designamos a los elementos de una extensión \(L\) de \(p\) (\(L/(p)\)); lo que implica cardinalidad. La elección correcta de \(k\) depende de la disciplina científica donde se pretenda trabajar: desde el punto de vista algebraico se obtienen resultados de forma más completa si \(k \in C\text{.}\) En la geometría o la mecánica sería preciso considerar a los números reales, mientras que en álgebra abstracta (en la teoría de números) resulta natural aceptar a \(k\) como un elemento de los racionales \(\mathbb{Q}\text{;}\) incluso en ocasiones solamente los números enteros racionales⁵ \((k \in \mathbb{Z})\text{.}\)