Si sobre una curva elíptica
\(E\text{,}\) se toman dos puntos arbitrarios
\(P\) y
\(Q\) unidos por una línea recta, esta interceptará a la curva elíptica en un tercer punto
\(R\) (
Figura 3.3). Un punto
\(P\) del plano, estará sobre la curva
\(E\text{,}\) si tiene por coordenadas dos números (reales o complejos)
\(x\) e
\(y\) que cumplan con la ecuación
(3.3.1). El rasgo más útil y característico de las curvas elípticas, es la posibilidad de definir una “suma” entre sus puntos. Tiene su origen en las llamadas «construcciones de secantes y de tangentes»; si
\(P\) y
\(Q\) son dos puntos de la curva, la recta secante que pasa por ambos corta a la curva en otro punto
\(R\text{.}\) La curva es simétrica con respecto al eje de las
\(X\) y se define simplemente el opuesto de un punto
\(P\) (o
\(-P\)) como el simétrico de
\(P\) con respecto a dicho eje
\(X\text{.}\) La suma de dos puntos
\((P + Q)\) se define como el opuesto (simétrico con respecto al eje
\(\mathcal {O}X\)) del punto
\(R\text{;}\) por consiguiente, tres puntos de la curva tienen una suma nula cuando están alineados. La suma de dos puntos coincidentes
\(P+P\text{,}\) (llamada suma
\(2P\)) resulta en el opuesto de
\(R^{\prime}\text{.}\) Se añade a los puntos de la curva un punto en el infinito, el punto de fuga de las verticales; que hace de «cero» para la suma y lo denotamos
\(\mathcal {O}\) u
\(\mathcal {O}_\infty\text{.}\) En particular la tangente
\(L_1\) en un punto
\(T\text{,}\) si es vertical no corta la curva, en caso contrario es tangente a
\(R\) y corta a la curva en
\(R^{\prime}\text{.}\)
