Sección 3.2 El poder de la abstracción
Subsección 3.2.1 Los Campos de Galois
Bien pudiéramos extender el razonamiento anterior [Subsección 3.1.2] a un cuerpo finito bidimensional, teniendo como premisa de que sus propiedades algebraicas le permiten extenderse en cualquier dirección a pesar de que los objetos distintos que forman ese tipo de campo, grupo o cuerpo, deberían tener una cardinalidad finita (se pueden contar sus elementos). Esto en principio pudiera indicar una inconsistencia: pueden extenderse hasta el infinito en cualquier dirección, pero su contenido de pares ordenados: es finito. Se requiere de una “magia o maravilla” para resolver la aparente inconsistencia. Como ejemplo ilustrador recurriremos al círculo (en una dimensión), el cual podemos recorrer infinitamente a pesar de estar restringido en un espacio finito bidimensional. De la misma manera, haciendo uso del poder de la abstracción, podemos cortar una parte del plano bidimensional infinito, y ese trozo finito enrollarlo en forma de tubo para luego unir sus extremos y formar un toroide. De esa manera es posible tomar una dirección aleatoria y desplazarnos infinitamente en esa dirección; teniendo presente que dicho toro existe en un espacio bidimensional finito. Ambos ejemplos poseen un infinito número de puntos, cualquiera sea la trayectoria representada; con un tamaño distinto de cero. Infinidad que es necesario limitar para adaptarnos al otro requerimiento de los llamados cuerpos de Galois: número de elementos finito [complemente esta lectura con la Nota 3.4.2].
Orden, característica y extensión.
Los Campos Finitos son conocidos como Campos de Galois; se denotan como \(GF(q)\) [Subsección 2.3.8]. Por Galois sabemos que esos campos finitos existen solamente para \(q=p^m\text{;}\) donde \(p\) es un número primo (característica) y \(m\) un entero positivo (extensión); el número de elementos dentro del campo finito es \(q\text{.}\) Cada elemento de campo representa una clase de equivalencia (un conjunto de elementos con propiedades comunes Subsección 2.2.2).
El orden o la cardinalidad del campo, en el contexto de un cuerpo finito, se refiere al número total de elementos en ese cuerpo. Si denotamos un cuerpo finito como \(GF(q)\text{,}\) el orden es \(q\text{.}\) La característica de un cuerpo finito es el número primo más pequeño \(p\text{,}\) tal que al sumarle 1 repetidamente de forma modular se obtiene \(0\) .
Para campos finitos \(GF(q)\) todos los enteros que “son congruentes” [Definición 2.2.6] a cada otro (módulo \(p\)) representa una clase equivalente; la notación \(GF(q)\text{,}\) se refiere a un cuerpo finito con \(q\) elementos, \(q\) puede ser un número primo o una potencia de un número primo \(q=p^m\text{.}\)
Dos elementos \(a\) y \(b\) son congruentes si ellos generan el mismo residuo \(r\) cuando se dividen por \(p\text{.}\) Entonces la relación de congruencia es representada por \(a \equiv b \pmod{n}\text{;}\) (mucho ayudará al entendimiento: la aritmética modular; Subsección 2.2.5).
La congruencia se denota mediante el símbolo \(\equiv\text{;}\) indica la relación de congruencia recursiva en el cuerpo tipo \(GF(q)\text{.}\) El «generador de puntos del cuerpo» es \(q = p^m\text{;}\) donde \(m\) proporciona la cardinalidad natural, y el primo \(p\) actúa como ‘semilla’ para obtener una diversidad finita de elementos \(q\) limitada por \(m\text{.}\)
