Capítulo 2 La Nueva Álgebra
Se puede remplazar las palabras «punto», «recta» y «plano» por «mesa», «silla» y «jarra de cerveza» sin cambiar en nada la geometría.―Hilbert
Anteriormente, en el álgebra, los métodos y los resultados estaban ligados al problema de la resolución de las ecuaciones algebraicas (o de las ecuaciones diofantinas en Teoría de Número [10]). La nueva álgebra emprende una ruta hacia lo que hoy se considera el problema fundamental del álgebra: el estudio profundo de las estructuras algebraicas.
La modernidad, exige formular con precisión lo que era vago e inconsistente. Peano recrea el método axiomático y ayuda a consolidar la noción novedosa de estructuras matemáticas; todo ello consecuencia del cúmulo de ideas originales sembradas en la primera mitad del siglo XIX.
Los objetos más fundamentales usados en matemática —en todas las matemáticas— son conjuntos. La capacidad de poder «leer y comprender» los planteamientos matemáticos, escritos como pruebas basadas en lógica formal estricta sobre los elementos de un conjunto; es lo que identifica al alfabeto del analfabeto matemático. Adquirir esa capacidad, requiere de cierta madurez matemática que permita estudiar y comprender todo lo novedoso, escrito en un nuevo lenguaje, con nuevos símbolos y conceptos; e.g., los preceptos del álgebra abstracta o de la teoría de números.
Se ha dicho que es fundamental un conocimiento básico de la teoría de conjuntos, la inducción matemática, las relaciones de equivalencia y de las matrices, etc.; pero extendiendo esa premisa, sería necesario casi ser médico para entender un padecimiento, o casi ser piloto para comprender el vuelo de un avión, ¿? …
