Section 3 Un problema inconcluso, pero cada vez más interesante
¶En la sección anterior mostramos una pequeñísima parte de los grandes esfuerzos humanos respecto al problema de los números congruentes (2). En los últimos años, se han postulados resultados parciales que dependen de conjeturas ampliamente aceptadas; pero aún no demostradas, por lo tanto, no se tiene una respuesta concreta.
El problema de los números congruente ha atormentado a muchos, desde antes del año 972 con Ben Alcohain hasta el año 1995 con Andrew Wiles de Cambridge. La conjetura de Taniyama-Shimura establece que cada curva elíptica puede combinarse con una forma modular; un objeto matemático que es simétrico en infinitas formas. Este descomunal avance fue posible, debido a que los matemáticos fueron construyendo sólidas bases; y allanando los espacios que iban quedando para darle solidez a todo el edificio argumentativo. Por ejemplo, los argumentos sugeridos por Frey en 1982, permitieron una ruta irrefutable que conectaba la conjetura de Taniyama-Shimura con la demostración del último teorema de Fermat. Frey propuso un contra ejemplo falso para la conjetura de Fermat [5.8], argumento que de ser cierto crearía una curva que no sería modular; afortunadamente Ribet en 1986 demostró la validez argumentativa de Frey. Si el último teorema de Fermat fuese falso, entonces existiría una curva elíptica tal que no puede asociarse con ninguna forma modular y por lo tanto la conjetura de Taniyama-Shimura sería falsa. El argumento de Frey consistió en suponer que existía al menos una solución entera para la ecuación de Fermat: \(x^n + y^n = z^n\) para \(n \gt 2\text{.}\) Si (y solo sí) el último teorema de Fermat es falso, entonces existe la solución elíptica de Frey. La ecuación elíptica de Frey es tan extraña que de ninguna manera puede ser modular. La conjetura de Taniyama-Shimura asegura que cada ecuación elíptica debe ser modular. Y si existiera solución a la curva propuesta por Frey, la conjetura de Taniyama-Shimura debe ser falsa. Si la conjetura de Taniyama-Shimura se puede demostrar cierta, entonces cada ecuación elíptica tiene que ser modular. Si cada ecuación elíptica es modular, entonces está prohibida la existencia de la ecuación elíptica de Frey. Si la ecuación elíptica de Frey no existe, entonces no puede haber solución a la ecuación de Fermat. ¡Entonces el último teorema de Fermat es cierto!
Teorema 3.1. Teorema de la Modularidad.
Para toda curva elíptica \(E\) con coeficientes racionales existe una forma modular \(f\) (de peso 2) tal que la serie \(L\) asociada a \(E\) y la serie \(L\) asociada a \(f\) coinciden. Esto equivale a que los coeficientes \(a_{p}\) asociados a la curva \(E\) (que se obtiene a partir del número de puntos de la curva módulo \(p\text{,}\) para \(p\) primo de buena reducción de \(E\)) coinciden con los coeficientes de Fourrier en el infinito de \(f\text{.}\)
Prof.
«Las curvas elípticas de coeficientes racionales … son modulares».
El mejor resultado conocido respecto al problema de los números congruentes, se debe a J.Tunnell que mostró que \(N\) es congruente si la curva elíptica generada por la ecuación cúbica Diofantina \(y^2 = x^3 - N^2x\) pasa a través de ciertos rangos de puntos sobre el plano \(\left(x,y\right)\text{;}\) específicamente puntos cuyas coordenadas \(x,y\) son números racionales y que además \(x\) satisfaga tres condiciones. Digamos que, si \(x = u/v\) entonces: i) \(u\) y \(v\) son cuadrados perfectos. ii) \(v\) es par. iii) \(u\) no tiene factor común con \(N\text{.}\) Si podemos encontrar un punto que cumpla esas propiedades, entonces podemos hallar infinitos puntos. Este resultado fue expandido por Tunnell mediante un teorema en 1983 [5.6].
Teorema 3.2. Tunnell, 1983.
Si \(n\) es un entero positivo, libre de cuadrados y \(n\) es el área de un triángulo rectángulo con lados racionales, entonces las siguientes cardinalidades son iguales:
| si \(n\) es impar: | \(\#\left\{\left(x,y,z\right) \in \mathbb{Z} ^{3}:n= 2x^{2} + y^{2} + 32 z^2\right\} = \) | |
| \(\frac{1}{2}\#\left\{\left(x,y,z\right) \in \mathbb{Z} ^{3} :n= 2x^{2} + y^{2} + 32 z^2\right\}\) | ||
| si \(n\) es par: | \(\#\left\{\left(x,y,z\right) \in \mathbb{Z} ^{3}: \frac{n}{2}= 4x^{2} + y^{2} + 32 z^2\right\} = \) | |
| \(\frac{1}{2}\#\left\{\left(x,y,z\right) \in \mathbb{Z} ^{3} :\frac{n}{2}= 4x^{2} + y^{2} + 8 z^2\right\}\) | ||
Prof.
Si la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es verdadera, a la inversa, estas igualdades implican que \(n\) es un número congruente [5.7].
Lo adelantado por Taniyama, Shimura, Tunnell, Wiles y otros, respecto a la conexión entre los números congruentes y las curvas elípticas, puede resumirse en una proposición de amplio espectro (3.3) que presenta su estado actual y magnifica la visión y la derrota respecto al futuro del problema de los números congruentes.
Proposición 3.3. Conexión del Problema de los Números Congruentes con las Curvas Elípticas.
El número \(N > 0 \) es congruente si y solo si la curva \(y^2 = x^3 - N^2x\) tiene un punto \(\left(x,y\right)\) con \(x,y \in \mathbb{Q}\) para todo \(y\neq 0\text{.}\) Más precisamente, si existe una correspondencia biunívoca \(C_{n} \leftrightarrow E_{n} \) entre los siguientes conjuntos algebráicos: