Section 2 La congruencia entera o racional
¶Definición 2.1. Número Congruente.
Decimos que un número es congruente si existe un triángulo recto cuyos lados son números racionales con área igual a \(n\) para \((n \geq 1)\text{.}\)
El triángulo rectángulo ayuda a geometrizar esta definición: para un triángulo recto de lados \((a, b, c)\text{,}\) donde \(a,b\) son los catetos y \(c\) la hipotenusa se cumple la ecuación \(a^2 + b^2 = c^2 \text{;}\) atribuida a Pitágoras de Samos, aunque ya era conocida por los matemáticos en Babilonia un milenio antes de él [5.2].
Fermat plantea el teorema de la suma de dos cuadrados mostrando una conexión sorprendente entre cuadrados y números primos, Ejem: el número primo \(5 = 2^2+1^2 = 4 \times 1+1\text{.}\) Un número primo \(P\) es una suma de dos cuadrados si y solo si: \(P = 2\) o \(P=4N+1\text{,}\) para algunos \(N \geq 1\text{.}\)
Teorema 2.2. Suma de dos Cuadrados.
Prof.
Se le deja al lector ...estudiar la forma modular.
El teorema sobre la Suma de dos Cuadrados fue luego generalizado por Gauss como la ley de reciprocidad cuadrática.
Dado un número entero \(A\text{,}\) es posible determinar cuándo \(A\) es congruente con el cuadrado de un entero \(x\text{:}\) \(\ A \equiv x^2(mod\ P)\text{.}\)
Teorema 2.3. Ley de Reciprocidad Cuadrática.
Prof.
Sea \(A\) un entero no divisible por \(P\text{.}\) Decimos que A es un residuo cuadrático \((mod \ P)\text{,}\) si \(A \equiv x^2(mod \ P)\text{.}\)
Puede existir un triángulo recto de catetos con valores enteros, cuya área tenga un valor entero. Sin embargo, para ciertos valores de áreas enteras, no es posible construir triángulos rectángulos con catetos enteros. Por ejemplo, no existe un triángulo de lados enteros con área \(a = 5\) (aunque \(5\) es un número congruente). Pero, si los lados del triángulo rectángulo tienen valores en el campo de los números racionales, se verifica que \(5\) es un número congruente en concordancia con la definición de Número Congruente. Ejemplo, el triángulo recto construido con los resultados racionales aportados por Fibonacci \((3/2, 20/3, 41/6)\) tiene área \(a =5\text{.}\)
La generalización de la definición de número congruente, no excluye a elementos del campo de los números racionales, aunque sí a los pertenecientes a los irracionales. En general, Alfred Wiles demostró en 1995 (por reducción al absurdo) que la última conjetura de Fermat es correcta para el campo de los números enteros [5.3].